Question

设n阶矩阵A和B均为非零矩阵,AB=0,A^*不等于0,问齐次线性方程组Bx=0的基础解系中有多少线性无关的解向量

Answer 1

因为AB=0,所以r(A)+r(B)≤n,又因为B不为非零矩阵,所以r(B)≥1,所以r(A)≤n-1,当r(A)比n-1还小的话,此时意外着n-1阶子式都等于0,根据伴随矩阵A*的性质,此时A*应等于0,但是题目中说A*≠0,所以r(A)=r(A*)=n-1,所以r(B)=1,所以BX=0的基础解系有n-1个解向量