Question

设A为n阶矩阵,r(A)=1,求证：(1)A=(a1 a2 .an)（列向量）*（b1,b2.bn ) (2) A^2=

Answer 1

证明:(1) 因为r(A)=1

所以 A 有一个非零列向量α,且其余列向量都是α的倍数

(事实上,α是A的列向量组的一个极大无关组)

记α=(a1,a2,...,an)'

则 A = (b1α,b2α,...,bnα) 某个ki=1.

= α(b1,b2,...,bn)

记 β = (b1,b2,...,bn)'

则 A = αβ'.

(2)

所以 A^2 = (αβ')(αβ')=α(β'α)β'=(β'α)αβ'=(β'α)A.

令 k = β'α

则 A^2=kA.

注:β'α 是两个向量的内积,是一个数.