解题思路：（1）由f（2）=3，可得k的值，从而可得函数f（x）的表达式；
（2）g（x）=f（x）-mx=-x2+（2-m）x+3，函数的对称轴为x=[2−m/2]，根据g（x）在区间[-2，2]上是单调函数，可得[2−m/2≤−2或
2−m
2
≥2
，从而可求实数m的取值范围；
（3）f（x）=kx2+（3+k）x+3的对称轴为
x＝−
3+k
2k]，分类讨论，确定函数图象开口向上，函数f（x）在[-1，4]上的单调性，利用最大值是4，建立方程，即可求得结论．
（1）由f（2）=3，可得4k+2（3+k）+3=3，∴k=-1
∴f（x）=-x2+2x+3；
（2）由（1）得g（x）=f（x）-mx=-x2+（2-m）x+3，函数的对称轴为x=[2−m/2]
∵g（x）在区间[-2，2]上是单调函数，
∴[2−m/2≤−2或
2−m
2≥2
∴m≤-2或m≥6；
（3）f（x）=kx2+（3+k）x+3的对称轴为x＝−
3+k
2k]
①k＞0时，函数图象开口向上，x＝−
3+k
2k＜0，此时函数f（x）在[-1，4]上的最大值是f（4）=16k+（3+k）×4+3=20k+15=4，∴k＝−
11
20＜0，不合题意，舍去；
②k＜0时，函数图象开口向下，x＝−
3+k
2k＝−
1
2−
3
2k＞−
1
2，
1°若−
1
2＜−
3+k
2k≤4，即k≤−
1
3时，函数f（x）在[-1，4]上的最大值是f（−
3+k
2k）=
12k−(k+3)2
4k＝4
∴k2+10k+9=0，∴k=-1或k=-9，符合题意；
2°若−
3+k
2k＞4，即−
1
3＜k＜0时，函数f（x）在[-1，4]上递增，最大值为f（4）=16k+（3+k）×4+3=20k+15=4，
∴k＝−
11
20＜−
1
3，不合题意，舍去；
综上，存在k使得函数f（x）在[-1，4]上的最大值是4，且k=-1或k=-9．
点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
考点点评： 本题考查函数解析式的确定，考查二次函数的单调性与最值，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键．
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