原题没有说清楚.经分析,应为:已知三角形ABC内接于圆O,AD是圆O的直径,CE⊥AD,E为垂足,CE的延长线交AB于点F,求证:AC²=AF•AB
证明:连接BD,CD.
∵AD为直径(已知)
∴∠ABD=90°,∠ACD=90°(直径所对的圆周角为直角)
∵CE⊥AD
∴AC²=AE•AD(射影定理,证明略)……1
在RT⊿AEF和RT⊿AABD中
∵∠AEF=∠ABD=90°,∠A为公用角
∴⊿AEF∽⊿ABD
∴AE/AB=AF/AD
∴AF•AB=AE•AD……2
由1和2得:AC²=AF•AB
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附录:射影定理证明
在RT⊿ACE和RT⊿ADC中,∠AEC=∠ACD=90°,∠CAD为公用角
所以:RT⊿ACE∽RT⊿ADC,则AE/AC=AC/AD=CE/CD
即:AC²=AE·AD……a
且:CE/AE=CD/AC……3
同理可证:RT⊿DCE∽RT⊿DAC,对应边成比例.
即:CD²=DE·AD……b
且:DE/CE=CD/AC……4
由3和4得:CE/AE=DE/CE
即:CE²=AE·DE……c
a、b、c三条即为:直角三角形的射影定理.可以作定理使用.