必须加一个条件是逆时针积分.
假设有闭曲线C1围绕原点,则可构造一圆C,使圆C完全位于C1内部,再以任意曲线连接C与C1上任意两点A、B,则曲线C、C1、AB构成了一个闭合回路G
有P=-y/(x^2+y^2),Q=x/(x^2+y^2),所以∂P/∂y=(y^2-x^2)/(x^2+y^2)^2,∂Q/∂x=(y^2-x^2)/(x^2+y^2)^2,即∂P/∂y=∂Q/∂x
根据格林公式可知,∮G(-ydx＋xdy)/(x²＋y²)=0,即
∮C1(-ydx＋xdy)/(x²＋y²)+∮BA(-ydx＋xdy)/(x²＋y²)+∮C-(-ydx＋xdy)/(x²＋y²)+∮AB(-ydx＋xdy)/(x²＋y²)=0
并且注意到∮BA(-ydx＋xdy)/(x²＋y²)=-∮AB(-ydx＋xdy)/(x²＋y²)
∮C-(-ydx＋xdy)/(x²＋y²)=-∮C(-ydx＋xdy)/(x²＋y²)
所以有∮C(-ydx＋xdy)/(x²＋y²)=∮C1(-ydx＋xdy)/(x²＋y²)
且易证∮C(-ydx＋xdy)/(x²＋y²)=2π,有关图及步骤如下：