怎么求值域!举例说明

1个回答

  • 一.观察法

    通过对函数定义域、性质的观察,结合函数的解析式,求得函数的值域.

    例1:求函数y=3+√(2-3x) 的值域.

    点拨:根据算术平方根的性质,先求出√(2-3x) 的值域.

    由算术平方根的性质,知√(2-3x)≥0,

    故3+√(2-3x)≥3.

    ∴函数的值域为 .

    点评:算术平方根具有双重非负性,即:(1)被开方数的非负性,(2)值的非负性.

    本题通过直接观察算术平方根的性质而获解,这种方法对于一类函数的值域的求法,简捷明了,不失为一种巧法.

    x09练习:求函数y=[x](0≤x≤5.y,x∈N)的值域.

    x09(答案:值域为:{0,1,2,3,4,5})

    x09

    二.反函数法

    当函数的反函数存在时,则其反函数的定义域就是原函数的值域.

    例2:求函数y=(x+1)/(x+2)的值域.

    点拨:先求出原函数的反函数,再求出其定义域.

    显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1-2y)/(y-1),其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为{y∣y≠1,y∈R}.

    点评:利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数.这种方法体现逆向思维的思想,是数学解题的重要方法之一.

    x09练习:求函数y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域.

    x09(答案:函数的值域为{y∣y1})

    三.配方法

    当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域

    例3:求函数y=√(-x2+x+2)的值域.

    点拨:将被开方数配方成完全平方数,利用二次函数的最值求.

    由-x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[-1,2].此时-x2+x+2=-(x-1/2)2+9/4∈[0,9/4]

    ∴0≤√-x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]

    点评:求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用.配方法是数学的一种重要的思想方法.

    x09练习:求函数y=2x-5+√15-4x的值域.

    x09(答案:值域为{y∣y≤2.5})

    四.判别式法

    若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域,但只适用于定义域为R或R除去一两个点.

    例4:求函数y=(2x2-2x+3)/(x2-x+1)的值域.

    点拨:将原函数转化为自变量的二次方程,应用二次方程根的判别式,从而确定出原函数的值域.

    将上式化为(y-2)x2-(y-2)x+(y-3)=0 (*)

    当y≠2时,由Δ=(y-2)2-4(y-2)+(y-3)≥0,解得:2<y≤10/3

    当y=2时,方程(*)无解.∴函数的值域为2<y≤10/3.

    点评:把函数关系化为二次方程F(x,y)=0,由于方程有实数解,故其判别式为非负数,可求得函数的值域.常适应于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函数.

    x09练习:求函数y=1/(2x2-3x+1)的值域.

    x09(答案:值域为y≤-8或y>0).

    五.最值法

    对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域.

    例5:已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域.

    点拨:根据已知条件求出自变量x的取值范围,将目标函数消元、配方,可求出函数的值域.

    ∵3x2+x+1>0,上述分式不等式与不等式2x2-x-3≤0同解,解之得-1≤x≤3/2,又x+y=1,将y=1-x代入z=xy+3x中,得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2),

    ∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函数z在区间[-1,3/2]上连续,故只需比较边界的大小.

    当x=-1时,z=-5;当x=3/2时,z=15/4.

    ∴函数z的值域为{z∣-5≤z≤15/4}.

    点评:本题是将函数的值域问题转化为函数的最值.对开区间,若存在最值,也可通过求出最值而获得函数的值域.

    练习:若√x为实数,则函数y=x2+3x-5的值域为 ( )

    x09A.(-∞,+∞) B.[-7,+∞]

    x09C.[0,+∞) D.[-5,+∞)

    (答案:D).

    六.图象法

    通过观察函数的图象,运用数形结合的方法得到函数的值域.

    例6:求函数y=∣x+1∣+√(x-2)2 的值域.

    点拨:根据绝对值的意义,去掉符号后转化为分段函数,作出其图象.

    原函数化为 -2x+1 (x≤1)

    y= 3 (-12)

    它的图象如图所示.

    显然函数值y≥3,所以,函数值域[3,+∞].

    点评:分段函数应注意函数的端点.利用函数的图象

    求函数的值域,体现数形结合的思想.是解决问题的重要方法.

    求函数值域的方法较多,还适应通过不等式法、函数的单调性、换元法等方法求函数的值域.

    七.单调法

    利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域.

    例1:求函数y=4x-√1-3x(x≤1/3)的值域.

    点拨:由已知的函数是复合函数,即g(x)= -√1-3x,y=f(x)+g(x),其定义域为x≤1/3,在此区间内分别讨论函数的增减性,从而确定函数的值域.

    设f(x)=4x,g(x)= -√1-3x ,(x≤1/3),易知它们在定义域内为增函数,从而y=f(x)+g(x)= 4x-√1-3x

    在定义域为x≤1/3上也为增函数,而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此,所求的函数值域为{y|y≤4/3}.

    点评:利用单调性求函数的值域,是在函数给定的区间上,或求出函数隐含的区间,结合函数的增减性,求出其函数在区间端点的函数值,进而可确定函数的值域.

    练习:求函数y=3+√4-x 的值域.(答案:{y|y≥3})

    八.换元法

    以新变量代替函数式中的某些量,使函数转化为以新变量为自变量的函数形式,进而求出值域.

    例2:求函数y=x-3+√2x+1 的值域.

    点拨:通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数,利用二次函数的最值,确定原函数的值域.

    设t=√2x+1 (t≥0),则

    x=1/2(t2-1).

    于是 y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-4≥1/2-4=-7/2.

    所以,原函数的值域为{y|y≥-7/2}.

    点评:将无理函数或二次型的函数转化为二次函数,通过求出二次函数的最值,从而确定出原函数的值域.这种解题的方法体现换元、化归的思想方法.它的应用十分广泛.

    练习:求函数y=√x-1 –x的值域.(答案:{y|y≤-3/4}

    九.构造法

    根据函数的结构特征,赋予几何图形,数形结合.

    例3:求函数y=√x2+4x+5+√x2-4x+8 的值域.

    点拨:将原函数变形,构造平面图形,由几何知识,确定出函数的值域.

    原函数变形为f(x)=√(x+2)2+1+√(2-x)2+22

    作一个长为4、宽为3的矩形ABCD,再切割成12个单位

    正方形.设HK=x,则ek=2-x,KF=2+x,AK=√(2-x)2+22 ,

    KC=√(x+2)2+1 .

    由三角形三边关系知,AK+KC≥AC=5.当A、K、C三点共

    线时取等号.

    ∴原函数的知域为{y|y≥5}.

    点评:对于形如函数y=√x2+a ±√(c-x)2+b(a,b,c均为正数),均可通过构造几何图形,由几何的性质,直观明了、方便简捷.这是数形结合思想的体现.

    练习:求函数y=√x2+9 +√(5-x)2+4的值域.(答案:{y|y≥5√2})

    十.比例法

    对于一类含条件的函数的值域的求法,可将条件转化为比例式,代入目标函数,进而求出原函数的值域.

    例4:已知x,y∈R,且3x-4y-5=0,求函数z=x2+y2的值域.

    点拨:将条件方程3x-4y-5=0转化为比例式,设置参数,代入原函数.

    由3x-4y-5=0变形得,(x3)/4=(y-1)/3=k(k为参数)

    ∴x=3+4k,y=1+3k,

    ∴z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1.

    当k=-3/5时,x=3/5,y=-4/5时,zmin=1.

    函数的值域为{z|z≥1}.

    点评:本题是多元函数关系,一般含有约束条件,将条件转化为比例式,通过设参数,可将原函数转化为单函数的形式,这种解题方法体现诸多思想方法,具有一定的创新意识.

    练习:已知x,y∈R,且满足4x-y=0,求函数f(x,y)=2x2-y的值域.(答案:{f(x,y)|f(x,y)≥1})

    十一.利用多项式的除法

    例5:求函数y=(3x+2)/(x+1)的值域.

    点拨:将原分式函数,利用长除法转化为一个整式与一个分式之和.

    y=(3x+2)/(x+1)=3-1/(x+1).

    ∵1/(x+1)≠0,故y≠3.

    ∴函数y的值域为y≠3的一切实数.

    点评:对于形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函数均可利用这种方法.

    练习:求函数y=(x2-1)/(x-1)(x≠1)的值域.(答案:y≠2)

    十二.不等式法

    例6:求函数Y=3x/(3x+1)的值域.

    点拨:先求出原函数的反函数,根据自变量的取值范围,构造不等式.

    易求得原函数的反函数为y=log3[x/(1-x)],

    由对数函数的定义知 x/(1-x)>0

    1-x≠0 解得,0<x1或y