Question

已知椭圆x²/2+y²=1,过点A(2,1)的直线与椭圆交于M、N两点,求弦MN中点的轨迹

Answer 1

设M(x1,y1),N(x2,y2),MN中点P(x,y)

则x²1/2+y²1=1,x²2/2+y²2=1

相减：

（x²1-x²2)/2+(y²1-y²2)=0

∴(x1+x2)(x1-x2)=-2(y1+y2)(y1-y2)

(x1+x2)=-2(y1+y2)*(y1-y2)/(x1-x2)

根据中点坐标公式：

x1+x2=2x,y1+y2=2y

∴2x=-4y(y1-y2)/(x1-x2)

∵A,M,N,P四点共线

∴kMN=kPA

∴(y1-y2)/(x1-x2)=(y-1)/(x-2)

∴x=-2y*(y-1)/(x-2)

∴x²-2x=-2y²+2y

∴弦MN中点的轨迹方程为

∴(x-1)²+2(y-1/2)²=3/2

轨迹为以(1.1/2)为中心的椭圆

在椭圆x²/2+y²=1内部的一段弧