⑴ 设a+be^t+ce^（-t）＝0①
对t求导 be^t-ce^（-t）＝0②
再对t求导be^t+ce^（-t）＝0③
①②③中取t＝0,得到
a+b-c＝0,b-c＝0 b+c＝0,得到 a＝b＝c＝0
∴1,e^t,e^(-t)线性无关
⑵设α,β∈V
α＝a+be^t+ce^（-t）a+b+c＝0
β＝a1+b1e^t+c1e^（-t） a1+b1+c1＝0
则α+β＝（a+a1）+（b+b1）e^t+（c+c1）e^（-t）
（a+a1）+（b+b1）+（c+c1）＝（a+b+c）+（a1+b1+c1）＝0 α+β∈V
kα＝ka+kbe^t+kce^（-t）ka+kb+kc＝0 kα∈V ∴V是C[0,1]的子空间.
⑶ 取α＝1-e^t ,β＝1-e^（-t）∈V
显然α,β线性无关.
任意γ∈V,γ＝x+ye^t+ze^（-t） x+y+z＝0 x＝-y-z
（-y）α+（-z）β＝γ,∴V＝＜α,β＞,｛α,β｝是V的一组基底,V的维数＝2
春节快乐!寒假快乐!