圆锥曲线方程导数如何得出?比如圆锥曲线中x∧2可以换成x×x’,其他的xy,x+y,x又要换成什么呢?说错了,不是导数,

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  • 设在椭圆上有一点P(x1,y1)经过此点椭圆的切线方程为:x1*x/a^2+y1*y/b^2=1

    方法一:设切线的方程为Y-Yo=k(X-Xo)即Y=k(X-Xo)+Yo ①

    把①式代入椭圆方程X^2/a^2+Y^2/b^2=1,得:

    X^2/a^2+[k(X-Xo)+Yo]^2/b^2=1即:

    b^2·X^2+a^2·[k^2·(X-Xo)^2+Yo^2+2Yo·k(X-Xo)]=a^2·b^2即:

    (b^2+a^2·k^2)X^2-(2a^2·k^2·Xo-2a^2·k)X+(a^2·k^2·Xo^2+a^2·Yo^2-2a^2·k·Xo-a^2·b^2)=0

    由于切线Y-Yo=k(X-Xo)与椭圆X^2/a^2+Y^2/b^2=1相切,所以上式方程有且只有一个实数解.

    则△=(2a^2·k^2·Xo-2a^2·k)^2-4(b^2+a^2·k^2)(a^2·k^2·Xo^2+a^2·Yo^2-2a^2·k·Xo-a^2·b^2)=0

    则有k=-(b^2·Xo)/(a^2·Yo)

    把k=-(b^2·Xo)/(a^2·Yo)代入切线方程Y-Yo=k(X-Xo),得:

    (a^2·Yo)(Y-Yo)=-(b^2·Xo)(X-Xo)即:

    a^2·Yo·Y+b^2·Xo·X=a^2·Yo^2+b^2·Xo^2 ②

    又把点(Xo,Yo)代入椭圆方程X^2/a^2+Y^2/b^2=1,得:

    Xo^2/a^2+Yo^2/b^2=1 即 b^2·Xo^2+a^2·Yo^2=a^2·b^2 ③

    把③式代入②式,得:

    a^2·Yo·Y+b^2·Xo·X=a^2·b^2

    等式两边同时除以a^2·b^2,得:

    Xo·X/a^2 + Yo·Y/b^2=1

    方法二:用隐函数求导

    有 椭圆方程两边分别对x求导:

    b²x²+a²y²-a²b²=0

    2b²x+2a²y*(dy/dx)=0

    (dy/dx)=-b²x1/(a²y1)

    即k=-b²x1/(a²y1)

    则切线方程是:y-y1=k*(x-x1)=[-b²x1/(a²y1)](x-x1)

    (y-y1)(a²y1)+b²x1(x-x1)=0

    a²yy1+b²x1x-(a²y1²+b²x1²)=a²yy1+b²x1x-a²b²=0

    即:xx1/a²+yy1/b²=1

    双曲线过点(x0,y0)的切线为

    x0*x/(a^2)-y0*y/(b^2)=1

    证明:x²/a²-y²/b²=1.对x求导:2x/a²-2yy′/b²=0.

    (x0,y0)的切线斜率y′=x0b²/y0a²

    (x0,y0)的切线方程:(y-y0)=x0b²/y0a²(x-x0).

    注意到b²x0²-a²y0²=a²b².

    切线方程k可化简为:x0x/a²-y0y/b²=1.

    求抛物线:y^2=2px 在点(a,b)处切线的方程

    抛物线方程两边对x求导:得:

    2yy'=2p 即 y'=p/y

    故抛物线在(a,b)处切线的斜率为p/b

    所以在(a,b)处切线方程为:y-b=(p/b)(x-a)

    又:b^2=2pa 所以 y+b=p(x+a)

    即抛物线y^2=2px在(a,b)处切线方程为:y+b=p(x+a)