Question

高中竞赛的一个三角函数题题是这样的 x,y,z 属于【0,90°】,cosx+cosy+cosz=1,S=tan(x/2

Answer 1

令cosx=k,cosy=l,cosz=m

则S=tan{x/2}+tan{y/2}+tan{z/2}

={(1-k)/(1+k)}^{1/2}+{(1-m)/(1+m)}^{1/2}+{(1-l)/(1+l)}^{1/2}

={(m+l)/(m+n+l+n)}^{1/2}+{(m+n)/(m+n+l+l)}^{1/2}+{(n+l)/(m+n+l+m)}^{1/2}

令a=k+l,b=l+m,c=k+m

则abc为三角形三边

且S=sum{a/(b+c)}^{1/2}

易证{a/(b+c)}^{1/2}>=(2a)/(a+b+c)

所以S>=2

且x=y=pi/2,z=0时,S=2,

所以最小值为2