Question

已知函数f(x)＝loga1−mxx−1(a＞0，a≠1)的图象关于原点对称．

Answer 1

解题思路：（1）由题意得，f（x）是奇函数，得f（-x）+f（x）=0，代入解析式再用比较系数法，可得m=-1；

（2）令对数的真数为t，利用单调性的定义可以证出t（x）在区间（1，+∞）上是减函数，再用复合函数单调性可得原函数在区间（1，+∞）上的单调性．

（1）∵函数f(x)＝loga

1−mx

x−1(a＞0，a≠1)的图象关于原点对称

∴函数为奇函数，满足f（-x）+f（x）=0，即loga

1+mx

−x−1+loga

1−mx

x−1=0对定义域内任意x都成立，

即loga(

1+mx

−x−1•

1−mx

x−1)=log_a1，

1−m2x2

1−x2=1对定义域内任意x都成立，

∴m²=1，得m=±1，经检验m=1不符合题意舍去，所以m的值为-1；

（2）当0＜a＜1时，f（x）是（1，+∞）的增函数；当a＞1时，f（x）是（1，+∞）的减函数，证明如下

由（1）得f(x)＝loga

1+x

x−1，（x＞1）

设t=

1+x

x −1，再令1＜x₁＜x₂，则t₁=

1+x1

x1−1，t₂=

1+x2

x2−1，

可得t₁-t₂=

1+x1

x1−1-

1+x2

x2−1=

2(x2−x1)

(x1−1)(x2−1)＞0，有t₁＞t₂，

∴函数t=

1+x

x−1是（1，+∞）上的减函数．

根据复合函数单调性法则，得：当0＜a＜1时，f（x）是（1，+∞）的增函数；

当a＞1时，f（x）是（1，+∞）的减函数．

点评：

本题考点： 奇偶性与单调性的综合；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的性质；函数的图象．

考点点评： 本题给出真数为分式对数型函数，并研究它的单调性与奇偶性，着重考查了基本初等函数的单调性和奇偶性等常见性质，属于基础题．