已知a,b属于R且a不等于2,函数f(x)=lg1+2x分之1+ax在定义域内是奇函数. (1)求函数f(x)的解析式.

3个回答

  • (1)f(x)在定义域内是奇函数,则对于定义域内的任意x,有-x在定义域内且有f(x)=-f(-x)

    首先我们先看定义域的问题,则要求保证分母(lgb+2x)≠0

    假设lgb≠0,即b≠1,则有2x≠-lgb,即x≠-(lgb)/2

    而当x=(lgb)/2时,分母不等于0,是在定义域内的,这与对任意的x,有-x在定义域内矛盾,

    所以b=1

    又有对任意定义域内的x,有f(x)=-f(-x)

    所以(1+ax)/2x=-(1-ax)/(-2x),即1+ax=1-ax,解得a=0

    所以f(x)=1/2x

    (2)很明显,f(x)的定义域是x≠0,

    对任意的x1>x2>0时,有f(x1)-f(x2)=1/2x1-1/2x2<0,所以在x大于0上,x是单调减的

    对任意的x10>x2时,f(x1)>f(x2),所以在整个定义域中f(x)不具有单调性.

    总上我们说,f(x)在(0,+∞)和(-∞,0)上分别单调减