Question

已知双曲线焦点在X轴上,过焦点做斜率为3分之根号3的直线交双曲线右支于P,且Y轴平分线F1P,求双曲线离心

Answer 1

依题意设双曲线方程为：x^2/a^2-y^2/b^2=1,(a>0,b>0)

过焦点F1(-c,0)的直线L的方程为：y=√3/3*(x-c),

直线L交双曲线右支于点P,且y轴平分线F1P,

则交y轴于点Q（0,√3/3*c）.

设点P的坐标为（x,y）,

又几何知识,可知：x+c=2c,y=2√3/3*c,

x=c,y=2√3/3*c.即P点坐标（c,2√3/3*c）,

代入x^2/a^2-y^2/b^2=1,得：1/a^2-4/3b^2=1/c^2,

又 c^2=a^2+b^2,

所以 b^2=2a^2,c^2=3a^2,

故 e=c/a=√3/3.

所求双曲线离心率为：e=√3/3.