Question

试求出所有的实数a,使得关于x的方程x^3+(-a^2+2a+2)x-2a^2-2a=0有三个整数根

Answer 1

将方程整理为：

x^3+ax^2+2ax+2x-ax^2-a^2x-2a^2-2a=0

x(x^2+ax+2a+2)-a(x^2+ax+2a+2)=0

(x-a)(x^2+ax+2a+2)=0

于是立即得到方程的第一个根：x-a=0,即x1=a；

由于题目要求有三个整数根,所以a必定是整数.

x^2+ax+2a+2=0,

要使方程有实数根,其判别式

△=a^2-4(2a+2)

=a^2-8a-8

=(a-4)^2-24≥0,

即(a-4)^2≥24,

由于a为整数,且16=4^2