1.
由题意A(a^2/c,0);B(0,b) ; F(c,0)
P点坐标(c,y)：c^2/a^2 +y^2/b^2 = 1
所以 y = b^2/a
D点为FP中点坐标为 ( c,b^4/2a^2) ; D在 AB上,FD/OB = AF/AO
(b^2/2a)/b = (b^2/c)/(a^2/c) 于是 b/a=1/2 所以e=c/a = √3/2
2.
A1(-a,0) A2(a,0) ,B(0,b) 向量BA1(-a,-b);向量BA2(a,-b)
向量BA1*向量BA2 = -a^2+b^2 = -3 由第一问 a=2b
于是 -4b^2 +b^2 = -3 ; b=1 ,a=2
椭圆方程 x^2/4+y^2 =1
3.
证明：M( 2cosα,sinα) ; N( 2cosβ,sinβ)
直线A1M :y = (x+2)*[ sinα/(2cosα+2)] = 2sinα/2cosα/2*(x+2)/ [4(cosα/2)^2]
= (x+2)*(tanα/2)/2
同理 A2N :y = (x-2)*/(-tanβ/2)*2
由于 A1M,A2N交于点Q; 所以 (4/√3+2)tanα/2 = -1/tanβ/2(4/√3-2)
tanα/2*tanβ/2 = -7+4√3
直线 MN:
kMN = (sinα-sinβ)/(2cosα-2cosβ) = 2sin(α-β)/2*cos(α+β)/2 /[-4sin(α-β)/2*sin(α+β)/2]
= -(cot(α+β)/2)/2
直线 MN：y-sinα = (x-2cosα)kMN
y=0 时,x = 2(sinαsin(α+β)/2)/cos(α+β)/2 + 2cos α
= 2[sinαsin(α+β)/2+cos αcos(α+β)/2]/cos(α+β)/2
= 2cos[α-(α+β)/2]/cos(α+β)/2
= 2cos(α-β)/2 / cos(α+β)/2
= 2[sinα/2*sinβ/2+cosα/2*cosβ/2] /[-sinα/2*sinβ/2+cosα/2*cosβ/2]
= 2(1+tanα/2*tanβ/2)/(1-tanα/2*tanβ/2)
= 2*(-6+4√3)/(8-4√3) = √3