自A(4,0)引圆x2+y2=4的割线ABC,求弦BC中点P的轨迹方程.

1个回答

  • 解题思路:先设出动点P的坐标(x,y),然后由圆的几何性质知OP⊥BC,再利用kOP•kAP=-1,求出P(x,y)满足的方程.也可由圆的几何性质直接得出动点P与定点M(2,0)的距离恒等于定长2,然后由圆的定义直接写出P点的轨迹方程.

    方法一 (直接法)

    设P(x,y),连接OP,则OP⊥BC,…(2分)

    ①当x≠0时,kOP•kAP=-1,即

    y

    x•

    y

    x−4=−1,即x2+y2-4x=0.(★)…(8分)

    ②当x=0时,P点坐标(0,0)是方程(★)的解,…(12分)

    ∴BC中点P的轨迹方程为x2+y2-4x=0(在已知圆内的部分).…(14分)

    方法二 (定义法)

    由方法一知OP⊥AP,取OA中点M,则M(2,0),|PM|=

    1

    2|OA|=2,

    由圆的定义知,∴P的轨迹方程为x2+y2-4x=0(在已知圆内的部分).

    点评:

    本题考点: 轨迹方程.

    考点点评: 针对这个类型的题目,常用的方法有:(1)待定系数法;(2)代入法;(3)直接法;(4)定义法.其中直接法是求曲线方程最重要的方法,它可分五个步骤:①建系,②找出动点M满足的条件,③用坐标表示此条件,④化简,⑤验证;定义法是指动点的轨迹满足某种曲线的定义,然后据定义直接写出动点的轨迹方程;代入法,它用于处理一个主动点与一个被动点问题,只需找出这两点坐标之间的关系,然后代入主动点满足的轨迹方程即可.