2*2的方格中有5个正方形,3*3的方格中有14个正方形,4*4的方格中有30个正方形,5*5的方格中有55个正方形

3个回答

  • 边长为1的正方形共有n^2个

    为2的有(n-1)^2个

    以此类推 直到边长为n的共有1个

    即总共有1^2+2^2+3^2.+(n-1)^2+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 个

    推导的方法:

    利用立方差公式

    n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]

    =n^2+(n-1)^2+n^2-n

    =2*n^2+(n-1)^2-n

    2^3-1^3=2*2^2+1^2-2

    3^3-2^3=2*3^2+2^2-3

    4^3-3^3=2*4^2+3^2-4

    .

    n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n

    各等式全相加

    n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)

    n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)

    n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1

    n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2

    3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)

    =(n/2)(n+1)(2n+1)

    1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

    另外一个很好玩的做法

    想像一个有圆圈构成的正三角形,

    第一行1个圈,圈内的数字为1

    第二行2个圈,圈内的数字都为2,

    以此类推

    第n行n个圈,圈内的数字都为n,

    我们要求的平方和,就转化为了求这个三角形所有圈内数字的和.设这个数为r

    下面将这个三角形顺时针旋转60度,得到第二个三角形

    再将第二个三角形顺时针旋转60度,得到第三个三角形

    然后,将这三个三角形对应的圆圈内的数字相加,

    我们神奇的发现所有圈内的数字都变成了2n+1

    而总共有几个圈呢,这是一个简单的等差数列求和

    1+2+……+n=n(n+1)/2

    于是3r=[n(n+1)/2]*(2n+1)

    r=n(n+1)(2n+1)/6