Question

请教一个塞瓦定理的问题请教一下,塞瓦定理、角元塞瓦定理、塞瓦定理逆定理之间是什么关系呢?角元塞瓦定理和塞瓦定理逆定理是塞

Answer 1

塞瓦定理

塞瓦定理

设O是△ABC内任意一点,

AO、BO、CO分别交对边于D、E、F,则 BD/DC*CE/EA*AF/FB=1

证法简介

（Ⅰ）本题可利用梅涅劳斯定理证明：

∵△ADC被直线BOE所截,

∴ CB/BD*DO/OA*AE/EC=1 ①

而由△ABD被直线COF所截,∴ BC/CD*DO/OA*AF/BF=1②

②÷①:即得：BD/DC*CE/EA*AF/FB=1

（Ⅱ）也可以利用面积关系证明

∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△COD)=S△AOB/S△AOC ③

同理 CE/EA=S△BOC/ S△AOB ④ AF/FB=S△AOC/S△BOC ⑤

③×④×⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1

利用塞瓦定理证明三角形三条高线必交于一点:

设三边AB、BC、AC的垂足分别为D、E、F,

根据塞瓦定理逆定理,因为(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA）/[(CD*ctgB）]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/

[(AE*ctgB)]=1,所以三条高CD、AE、BF交于一点.

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并列关系并列关系并列关系并列关系