Question

求过点（0，2）的直线被椭圆x2+2y2=2所截弦的中点的轨迹方程．

Answer 1

解题思路：设直线方程为y=kx+2，把它代入x²+2y²=2，得（2k²+1）x²+8kx+6=0，由此入手可以求出所截弦的中点的轨迹方程．

设直线方程为y=kx+2，

把它代入x²+2y²=2，

整理得（2k²+1）x²+8kx+6=0．

要使直线和椭圆有两个不同交点，则△>0，即k

6

2或k>

6

2．

设直线与椭圆两个交点为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），中点坐标为C（x，y），则

x=

x1+x2

2=[-4k

2k2+1，

y=

-4k2

2k2+1+2=

2

2k2+1．

（k

6/2]或k>

6

2），

从参数方程x=[-4k

2k2+1，y=

2

2k2+1

消去k得x²+2（y-1）²=2，

且|x|<

6/2]，0

点评：

本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程．

考点点评： 本题考查圆锥曲线的基本知识，解题时要认真审题，仔细解答．