已知函数f(x)=(12x-1+12)sinx (-π2<x<π2且x≠0)

3个回答

  • 解题思路:(1)根据函数的定义域关于原点对称,且满足f(-x)=f(x),可得函数为偶函数.

    (2)当0<x<[π/2]时,由函数的解析式求得f(x)>0,当

    -

    π

    2

    <x<0

    时,由f(x)为偶函数,利用偶函数的性质可得f(x)>0,从而证得结论.

    (1)∵f(-x)=(

    1

    2-x-1+

    1

    2)sin(-x)=-(

    1

    1

    2x-1+

    1

    2)sinx

    =-(

    2x

    1-2x+

    1

    2)sinx=(

    2x

    2x-1-

    1

    2)sinx=[(1+

    1

    2x-1)-

    1

    2]sinx=(

    1

    2x-1+

    1

    2)sinx=f(x),

    ∴f(x)是偶函数.

    (2)当0<x<

    π

    2时,2x>1,2x-1>0,又sinx>0,∴f(x)>0.

    当-

    π

    2<x<0时,

    ∵f(x)为偶函数,由上式知f(x)>0,故f(x)>0成立.

    综上可得,f(x)>0.

    点评:

    本题考点: 函数奇偶性的判断.

    考点点评: 本题主要考查函数的奇偶性的判断和证明,函数的奇偶性的应用,属于中档题.