已知二次函数f(x)对任意实数x均满足f(2-x)+f(x-2)=2x2-8x+4,且f(-1)=0

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  • (1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)

    ∵f(2-x)+f(x-2)=2x2-8x+4

    ∴2ax2-8ax+8a+2c=2x2-8x+4

    ∴a=1,c=-2

    ∵f(-1)=0

    ∴a-b+c=0

    ∴b=-1

    ∴f(x)=x2-x-2

    (2)f(x)=3lnx+b,∴b=x2-x-3lnx-2

    设h(x)=x2-x-3lnx-2,则h′(x)=

    (2x−3)(x+1)

    x

    ∴当x∈[1,[3/2])时,h′(x)<0;当x∈([3/2,2]时,h′(x)>0

    ∴函数h(x)在(1,

    3

    2])上是减函数;在([3/2,2)是增函数;

    ∴h(x)的最小值为h(

    3

    2])=-[5/4−3ln

    3

    2]

    又h(1)=-2,h(2)=-3ln2

    ∵-2>-3ln2

    ∴b∈(−

    5

    4−3ln

    3

    2,−3ln2];

    (3)由题意可得g(x)=mlnx+[1/2x2(x>0)

    ①当m>0时,g(x)是增函数,显然∃x>0,如x=e−

    1

    m]使得g(x)≤0,所以m>0符合题意;

    ②当m=0时,g(x)=

    x2

    2>0恒成立,所以m=0不符合题意

    ③当m<0时,g′(x)=

    (x−

    −m)(x+

    −m)

    x

    ∴g(x)在(0,

    −m)为减函数,在(