已知定义在R上的函数f(x)=x2(ax-3),其中a为常数.

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  • (I)∵f(x)=ax3-3x2,∴f'(x)=3ax2-6x,

    ∵x=1是f(x)的一个极值点,∴f'(1)=3a-6=0,

    ∴a=2.

    (II)g(x)=ax3+3(a-1)x2-6x(a>0)

    g'(x)=3ax2+6(a-1)x-6,△=36(a-1)2+72a=36(a2+1),

    ∴f'(x)=0有两个实根,设这两个实根为x1,x2,

    则 x1x2=-2a<0,

    设x1<0<x2,当0<x2<2时,g(x2)为极小值,

    所以g(x)在[0,2]上的最大值只能为g(0)或g(2)

    当x2≥2时,g(x)在[0,2]上单调递减,g(x)的最大值为g(0),

    所以g(x)在[0,2]上的最大值只能为g(0)或g(2),

    又已知g(x)在x=0处取得最大值,所以g(0)≥g(2),

    即 0≥20a-24,解得a≤65,∴ 0<a≤65