Question

已知函数f(x)=ax^4*lnx+bx^4-c(x>0)在x=1处取得极值-3-c,其中a,b,c为常数,

Answer 1

1.由题可知,f(1)=b-c=-3-c,所以b=-3,

所以f'(x)=ax^3(4lnx+1)-12x^3,

且f'(1)=0,所以a-12=0,所以a=12,

所以a=12,b=-3；

2.因为f(x)=12x^4lnx-3x^4-c,

所以定义域为(0,+无穷),

f'(x)=12x^3(4lnx+1)-12x^3,

令f'(x)=0,则x=1.

当00,此时f(x)递增.

所以f(x)的递减区间为(0,1),递增区间为(1,+无穷)；

3.由2可得,f(x)的最小值=f(1)=-3-c,

因为对任意x>0,不等式f(x)>=-2c^2恒成立,

所以-3-c>=-2c^2,

所以c=3/2.

所以c的取值范围为c=3/2.