Question

已知直线l经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点．（1）若|AF|=4，求点A的坐标；（2）设直线

Answer 1

由y²=4x，得p=2，其准线方程为x=-1，焦点F（1，0）．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．

（1）|AF|=x₁+[p/2]，从而x₁=4-1=3．代入y²=4x，得y=±2

3．

所以点A为（3，2

3）或（3，-2

3）

（2）直线l的方程为y=k（x-1），与抛物线方程联立，消去y，整理得k²x²-（2k²+4）x+k²=0（*），

因为直线与抛物线相交于A、B两点，则k≠0，

设其两根为x₁，x₂，则x₁+x₂=2+[4

k2．

由抛物线的定义可知，|AB|=x₁+x₂+p=4+

4

k2=5，解得k=±2；

（3）设P（x，y），则P到直线2x-y+4=0距离为d=

|2x?y+4|

5=

|

y2/2?y+4|

5]=

|

1

2(y?1)2+

7

2|