解题思路：先由函数，求导，再由“函数
f(x)＝
1
3
x
3
+a
x
2
+5x+6
在区间[1，3]上是单调函数”转化为“f′（x）=x2+2ax+5≥0或f′（x）=x2+2ax+5≤0在[1，3]上恒成立”，进一步转化为最值问题：a≥-（[5/2x+
x
2]）或a≤-（[5/2x
+
x
2]）在[1，3]上恒成立，求得[-（[5/2x
+
x
2]）]max，[-（[5/2x
+
x
2]）]min即可．
∵函数f(x)＝
1
3x3+ax2+5x+6
∴f′（x）=x2+2ax+5
∵函数f(x)＝
1
3x3+ax2+5x+6在区间[1，3]上是单调函数
∴f′（x）=x2+2ax+5≥0或f′（x）=x2+2ax+5≤0在[1，3]上恒成立
即：a≥-（[5/2x+
x
2]）或a≤-（[5/2x+
x
2]）在[1，3]上恒成立
∴a≥[-（[5/2x+
x
2]）]max或a≤[-（[5/2x+
x
2]）]min
而3 ≥
5
2x+
x
2≥
5
∴a≥-
5或a≤-3
故答案为：（-∞，-3]∪[−
5，+∞)
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性．
考点点评： 本题主要考查导数法研究函数的单调性，基本思路：当函数是增函数时，导数大于等于零恒成立，当函数是减函数时，导数小于等于零恒成立，然后转化为求相应函数的最值问题．
1年前
5
mianjiao
幼苗
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f(x)=3x^3+ ax^2+ 5x+ 6在区间[1,3]上为单调函数,则实数a的取值范围
f(x)'=9x^2+ 2ax+ 5
在区间[1,3]上为单调函数
说明在[1,3]上f(x)'>0或f(x)'<0
当：在[1,3]上f(x)'>0
f(1)=9+2a+5=14+2a>0,==>a>-7
f(3)=81+6a+5=86+6a>0,==>...
1年前
2
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