Question

设f（x）在[0,1]上连续,且x*f（x）在0到1上的定积分等于f（x）在0到1上的定积分.证明存在y属于0到1使

Answer 1

我不知道我证得对不对,我给你我的思路：

设G(t)=[xf(x)-x]dt,被积区域是[0,t].根据题意有G(1）=0;

G(0)=0,G(t)闭区间连续,根据罗尔定理存在一点c属于（0,1）,使得G(t）的导数等于0,可得（c-1)f(c)=0.进一步可得f（c）=0.（c-1）恒不等于0

再根据积分中值定理：0到1的被积函数为f（x）定积分=f（c1）其中c1是（0,c）一点.

由以上知：存在一点c使得f（c）=0,故令c1=c,使得f（x）在0到y上的定积分为0,证