Question

求设f'(x)在[0,a]上连续.f(0)=0,证明|定积分f(x)d(x)

Answer 1

证明：

由微分中值定理

f(x)-f(0)=f'(xo)(x-0)=f'(xo)x,其中x∈(0,a)

即:f(x)=f'(xo)x,

那么,|f(x)|=|f'(xo)|x≤Mx

上式在[0,a]上积分有

∫(0~a)|f(x)|dx≤M∫(0~a)xdx=Ma²/2

即证.