Question

问一个积分证明题设f(x)在[0,a]上连续（a>0）,证明：∫（0,a）dx∫（0,x）f（x）f（y）dy=（1/2

Answer 1

证：

∫（0,a）dx∫（0,x）f（x）f（y）dy=∫∫(D)f(x)f(y)dxdy

D:0≤y≤x;0≤x≤a(可以在图上画出积分区域,有助解题思维)

又由此题中x,y的对称性可得：

∫∫(D)f(x)f(y)dxdy=∫∫(D')f(y)f(x)dydx

D':0≤x≤y;0≤y≤a

所以

∫∫(D)f(x)f(y)dxdy=1/2[∫∫(D)f(x)f(y)dxdy+∫∫(D')f(y)f(x)dydx]=(1/2)[∫∫(D'')f(y)f(x)dydx]

D''=D+D':0≤x≤a;0≤y≤a

所以

(1/2)[∫∫(D'')f(y)f(x)dydx]=(1/2)∫（0,a）dx∫（0,a）f（x）f（y）dy=(1/2)∫（0,a）f（x）dx*∫（0,a）f（y）dy=（1/2）[∫（0,a）f（x）dx]^2

即

∫（0,a）dx∫（0,x）f（x）f（y）dy=（1/2）[∫（0,a）f（x）dx]^2

得证