Question

A是m×n矩阵,m＜n,且A的行向量线性无关,B是n×(n-m)矩阵,B的列向量线性无关,且AB=0

Answer 1

证明:

由已知,r(A)=m,r(B)=n-m

所以 AX=0 的基础解系含 n-r(A)=n-m 个向量

又因为AB=0,所以B的列向量组都是AX=0的解

而 r(B)=n-m

所以 B 的列向量组组构成 AX=0的基础解系

因为 η是齐次方程组Ax=0的解

所以 η 可由 B 的列向量组线性表示

所以 Bx=η有解.

再由 B 列满秩知 Bx=η有唯一解.