Question

设A是n×m矩阵，B是m×n矩阵，其中n＜m，I是n阶单位矩阵，若AB=I，证明B的列向量组线性无关．

Answer 1

解题思路：设B₁，B₂，…，B_n为B的列向量组，为证其线性无关，只需证：k₁B₁+k₂B₂+…+k_nB_n=0当且仅当k₁=k₂=…=K_n=0．

证明：

设B₁，B₂，…，B_n为B的列向量组，

假设存在k₁，k₂，…，K_n，使得k₁B₁+k₂B₂+…+k_nB_n=0，

则：A（k₁B₁+k₂B₂+…+k_nB_n）=0，

即：k₁AB₁+k₂AB₂+…+k_nAB_n=0．①

因为AB=I，

所以：AB_j=

0

⋮

0

j

0

⋮

0=e_j，（j=1，…，n）

代入①可得，k₁e₁+k₂e₂+…+k_ne_n=0．

因为 e₁，e₂，…，e_n线性无关，

所以：k₁=k₂=…=K_n=0，

从而，B₁，B₂，…，B_n线性无关的．

点评：

本题考点： 向量组线性无关的判定与证明．

考点点评： 本题考查了向量组线性无关的判断与证明．证明采用了通常的思路，即证：k1B1+k2B2+…+knBn=0当且仅当k1=k2=…=Kn=0．