Question

设过点A(1,0)的直线与圆x^2+y^2=1/4交于不同的两点P,Q,求PQ的中点轨迹方程

Answer 1

若直线斜率不存在,垂直x轴,是x=1,显然和圆相离

所以有交点则斜率存在

y-0=k(x-1)

y=kx-k

代入

(k^2+1)x^2-2k^2x+(k^2-1/4)=0

x1+x2=2k^2/(k^2+1)

y=kx-k

所以y1+y2=k(x1+x2)-2k=-2k/(k^2+1)

设中点是 M

则x=(x1+x2)/2,y=(y1+y2)/2

所以x/y=-2k

y-0=k(x-1)

所以k=y/(x-1)

所以x/y=-2y/(x-1)

x^2-x+2y^2=0

有两个不同的交点

(k^2+1)x^2-2k^2x+(k^2-1/4)=0

判别式大于0

4k^4-4(k^2+1)(k^2-1/4)>0

k^2