Question

已知定点F（0，1）和定直线l：y=-1，过定点F与定直线l相切的动圆的圆心为点C

Answer 1

（1）设C（x，y），因为圆C定点F与定直线l相切，所以|CF|=|x+1|，即圆心C到定点和直线y=-1的距离相等．

轨迹抛物线的定义可知，C的轨迹是以F为焦点，y=-1为准线的抛物线，设抛物线方程为x ²=2py，其中

p

2 =1 ，

所以p=2，即抛物线方程为x ²=4y．

（2）设PF的中点M（x，y），P（x ₁，y ₁），则由中点坐标公式可得

x=

x 1

2

y=

y 1 +1

2 ，即

x 1 =2x

y 1 =2y-1 ，

代入抛物线方程x ²=4y，

得（2x） ²=4（2y-1），即x ²=2y-1，

所以PF的中点M的轨迹方程为x ²=2y-1．