Question

已知动圆过定点P（1，0），且与定直线l：x=﹣1相切，点C在l上．

Answer 1

（Ⅰ）依题意，曲线M是以点P为焦点，直线l为准线的抛物线，

所以曲线M的方程为y ²=4x．

（Ⅱ）（i）由题意得，直线AB的方程为

由

消y得3x ²﹣10x+3=0，解得

．

所以A点坐标为

，B点坐标为（3，

），

．

假设存在点C（﹣1，y），使△ABC为正三角形，则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，

即①②

由①﹣②得

，

解得

．但

不符合①，所以由①，②组成的方程组无解．

因此，直线l上不存在点C，使得△ABC是正三角形．

（ii）设C（﹣1，y）使△ABC成钝角三角形，

由

得

，

即当点C的坐标为（﹣1，

）时，A，B，C三点共线，故

．

又

，

，

．

当|BC| ²＞|AC| ²+|AB| ²，即

，即

时，∠CAB为钝角．

当|AC| ²＞|BC| ²+|AB| ²，即

，即

时∠CBA为钝角．

又|AB| ²＞|AC| ²+|BC| ²，即

，即

．

该不等式无解，

所以∠ACB不可能为钝角．

因此，当△ABC为钝角三角形时，

点C的纵坐标y的取值范围是

或

．