已知a>0,函数f(x)=cos2x-asinx+b的定义域为[0,2π],值域为[-4,0].试求a,b的值.

1个回答

  • 解题思路:通过配方化简函数f(x)=cos2x-asinx+b为:

    f(x)=−

    (sinx+

    a

    2

    )

    2

    +

    a

    2

    4

    +b+1

    ,利用定义域求出函数的最值,然后解出a,b的值.

    f(x)=(1−sin2x)−asinx+b=−(sinx+

    a

    2)2+

    a2

    4+b+1.

    令t=sinx,由x∈[0,2π]得t∈[-1,1],则y=f(x)=−(t+

    a

    2)2+

    a2

    4+b+1,

    由a>0得其对称轴t=−

    a

    2<0,

    ①当−

    a

    2≤−1,即a≥2时,t=1时函数取得最小值,t=-1时函数取得最大值,有

    0−a+b=−4

    a+b=0,

    得a=2,b=-2;

    ②当−1<−

    a

    2<0,即0<a<2时,t=−

    a

    2时,函数取得最大值,t=1时函数取得最小值,有

    a2

    4+b+1=0

    b−a=−4,

    得a=-2或a=-6(舍去).

    ∴a=2,b=-2.

    点评:

    本题考点: 三角函数的最值.

    考点点评: 本题考查三角函数的最值,利用三角函数的定义域,求出函数的最值,是解三角函数问题的常用方法,注意函数的值域与定义域的对应关系,配方法是中学数学常用方法.