已知函数f(x)=12cos2x+asinx−a4的定义域为[0,π2],最大值为2,求实数a的值.

3个回答

  • 解题思路:根据二倍角公式整理所给的函数式,得到关于正弦的二次函数,根据所给的角的范围,得到二次函数的定义域,根据对称轴与所给的定义域之间的关系,分三类来解答.

    ∵f(x)=

    1

    2cos2x+asinx−

    a

    4=[1/2(1−2sin2x)+asinx−

    a

    4]

    =-sin2x+asinx+

    1

    2−

    a

    4

    =-(sinx-[a/2])2+[1/2−

    a

    4+

    a2

    4]

    ∵函数的定义域为[0,

    π

    2],

    ∴sinx∈[0,1]

    ∴当0≤

    a

    2≤1时,

    a2-a-6=0,0≤a≤2

    a=3或a=-2 无解

    当[a/2]<0时,sinx=0取最大值

    即[1/2−

    a

    4]=2

    ∴a=-6

    当[a/2]>1时,sinx=1取最大值

    即-1+a+[1/2−

    a

    4]=2

    ∴a=[5/3]

    综上可知:a=-6或a=[5/3]

    点评:

    本题考点: 三角函数的最值;二次函数在闭区间上的最值;二倍角的余弦.

    考点点评: 本题考查二次函数在闭区间上的最值及三角函数变化整理的过程,本题解题的关键是对二次函数的对称轴进行讨论,本题是一个易错题,容易忽略讨论对称轴的位置.