解题思路：（Ⅰ）利用
f(x)＝
3x
2x+3
，an+1=f（an），可得an+1=
3
a
n
2
a
n
+3
，取倒数可得[1
a
n+1
−
1
a
n
＝
2/3]，从而数列
{
1
a
n
}
是等差数列
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
a
n
＝
3
2n+1
，根据bn=an-1•an（n≥2），可得
b
n
＝
a
n−1
a
n
＝
9
2
(
1
2n−1
−
1
2n+1
)
，进而可裂项求和
，从而将
S
n
＜
m−2002
2
，转化为[9/2
(1−
1
2n+1
)＜
m−2002
2]对一切n∈N*成立，故可求．
证明：（Ⅰ）∵f(x)＝3x2x+3，∴an+1=3an2an+3∴1an+1−1an＝23∴数列{1an}是等差数列（Ⅱ）由（Ⅰ）知an＝32n+1；当n≥2时，bn＝an−1an＝92(12n−1−12n+1)当n=1时，上式同样成立∴Sn＝b1+b2+…+bn＝92(1−13+13−...
点评：
本题考点： 数列与不等式的综合．
考点点评： 本题以函数为载体，考查构造法证明等差数列，考查裂项求和，考查恒成立问题，综合性强．
1年前
7
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