题目有点不严谨,应交代弹性碰撞,否则无法计算.
楼上两位是典型的中学生思维,逻辑不严密,存在很大的猜测成分（最后可以看出完全是瞎猜）.AB应当作为一个整体来分析,而不是只用BC碰撞来解决问题,A的存在对BC的碰撞有影响.
1 首先要判断AB系统质心是否会发生平动（AB系统绕质心转动是一定存在的）.根据ABC系统y方向动量守恒,易知AB整体（质心）不存在y方向速度分量.根据x方向动量守恒有m(Vc-Vc')=2mVab+mVacosx+mVbcosx,式中m为每个小球的质量,Vc为C初速,Vc'为碰撞后速度,Vab为碰撞后AB质心速度的x分量（就等于AB质心速度）,Va,Vb分别为碰撞后瞬间A、B球绕质心转动线速度,x=45°.显然mVacosx+mVbcosx相互抵消为零.从而有Vc-Vc'=2Vab.（1）
2 由能量守恒有：0.5m(Vc^2-Vc'^2)=0.5Jω^2+0.5(2m)Vab^2,其中转动惯量J=2[m*(0.5l)^2]=0.5ml^2,化简为2(Vc^2-Vc'^2)=l^2 ω^2+4Vab^2.（2）
3 由角动量定理,AB系统角动量增量dL=Mdt,M为C施加冲力的力矩=Fsinx* l/2,再由动量定理Fdt=-mdVc,得dL=Fsinx* l/2*dt=-sinx* l/2*mdVc,dL=Jdω=0.5ml^2 *dω,整理得：
-dVc=√2 ldω,积分得Vc-Vc'=√2 lω.（3）
4 由（1）,（2）,（3）式易求Vc',ω.进而C失去的动能易求.
如有不明欢迎追问.
上面3 用ABC系统角动量守恒更容易计算.因为AB质心不存在y方向运动,则C相对于AB质心的角动量易求,初始角动量Lc=mVc*sinx* l/2,碰撞后Lc'=mVc' *sinx* l/2.
C角动量的减少=AB角动量增大,即m(Vc-Vc')*sinx* l/2=Jω=0.5ml^2 ω.同样可得Vc-Vc'=√2 lω