Question

G为三角形ABC的重心,P为三角形ABC所在平面上任意一点.求证：PA^2+PB^2+PC^2=GA2+GB^2+GC^

Answer 1

首先根据余弦定理可以写出下列三式：

GA^2+PG^2-PA^2=2GA*PG*cos角AGP

GB^2+PG^2-PB^2=2GB*PG*cos角BGP

GC^2+PG^2-PC^2=2GC*PG*cos角CGP

三式相加并与问题比较,可知原命题等价于证明：

GA*cos角AGP+GB*cos角BGP+GC*cos角CGP=0,对于任意点P成立

这个的证明需要用到重心的性质：重心三等分中线

可以选取直线PG为坐标轴,然后用余弦的定义和上述性质就可以证明了.