例7(2006,武汉)
已知二次函数y=x2-(m+1)x+m的图像交x轴于A(x1,0),B(x2,0)两点,交y轴正半轴于点C,且x12+x22=10.
(3) 求此二次函数的解析式;
(4) 是否存在经过点D(0,- )的直线与二次函数的图像交于点M、N,与x轴交于点E,使得点M、N关于点E对称?如果存在,求出直线MN的函数解析式;如果不存在,请说明理由。
(1)根据题意,得
x1+ x2=m+1, x1x2=m,
由x12+x22=10,
即(x1+x2)2-2x1x2=10,
∴(m+1)2-2m=10,
解得m=3或m=-3,
由△=[-(m+1)]2-4m>0
得(m-1)2>0,即m≠1,
又∵二次函数图像交y轴正半轴于点C,∴当x=0时,y>0,即m>0,因此m的取值为3。从而所求二次函数的解析式为y=x2-4x+3.
(2)假设存在经过点D(0,- )的一条直线与二次函数的图像交于点M、N,一x轴交于点E,使得点M、N关于点E对称。如图19
设M(xm,ym),N(xn,yn),经过点D(0,- )的直线(此直线不可能是y轴)的函数解析式是y=kx- .当点M、N关于点E对称时ym+yn=0
由y=x2-4x+3.y=kx-
(消去y得:x2-(4+k)x+ =0,
∴xm+xn=k+4,
∴ym+yn=(kxm- )+(kxn- )
=k(xm+xn)-5
=k(k+4)-5
由ym+yn=0,得k2+4k-5=0,
解得k1=1,k2=-5.
当k=-5时,方程x2-(k+4)x+ =0的
的根的判别式⊿<0, 图 19
∴K=1,所以直线MN的解析式是Y=X-
所以存在经过点D(0,- )的直线与二次函数的图像交于点M 、N,使得点M 、N关于点E对称。
说明:本题是与一次函数、二次函数有关的函数综合题,要善于运用韦达定理解题。把点M、N关于点E对称转化为“YM +Y N=0” 在解题中起了重要作用,但不要忘记检验判别式⊿>0