Question

求二重积分(1) ∫∫(y/x)dxdy,其中D是由y=(1/2)x,y=x,x=1,x=2所围成的平面区域(2) ∫∫

Answer 1

（1）原式=∫dx∫(y/x)dy

=∫((x-x/2)/x)dx

=∫(1/2)dx

=(1/2)(2-1)

=1/2；

（2）原式=∫dx∫xdy

=∫x√(4-x²)dx

=(-1/2)∫√(4-x²)d(4-x²)

=(-1/2)(2/3)(0-2)

=2/3；

（3）原式=∫dy∫(y/x)dx

=∫y(2lny)dy

=2∫y*lnydy

=(y²*lny)│-∫ydy (应用分部积分法)

=4ln2-3/2.