Question

设函数f（x）=a1+a2x+a3x2+…+anxn-1，f（0）=[1/2]，数列{an}满足f（1）=n2•an，则

Answer 1

解题思路：首先根据题干条件求出a₁的值，然后根据f（1）=n²•a_n，得到a₁+a₂+a₃+…+a_n=n²•a_n，最后根据 a_n=S_n-S_n=n²•a_n-（n-1）²•a_n-1求出数列{a_n}的通项．

∵函数f（x）=a₁+a₂x+a₃x²+…+a_nx^n-1，f（0）=

1/2]，

∴a₁=[1/2]，

∵f（1）=n²•a_n，

∴a₁+a₂+a₃+…+a_n=n²•a_n，

又∵a_n=S_n-S_n=n²•a_n-（n-1）²•a_n-1，

∴（n²-1）a_n=（n-1）²•a_n-1（n≥2），

an

an−1＝

n2−1

(n−1)2＝

n+1

n−1

a2

a1•

a3

a2•

a4

a3…

an

an−1=[1/3]×[2/4]×…×[n−2/n]×[n−1/n+1]，

an

an−1=[1/3]×[2/4]×…×[n−2/n]×[n−1/n+1]，

∴a_n=

1

n(n+1)，

故答案为

1

n(n+1)．

点评：

本题考点： 数列递推式．

考点点评： 本题主要考查数列递推式的知识点，解答本题的关键是求出（n2-1）an=（n-1）2•an-1，此题难度一般．