求一条渐近线方程是3x+4y=0,一个焦点是(4,0)的双曲线标准方程,并求此双曲线的离心率.

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  • 解题思路:先由双曲线的渐近线方程为y=±[b/a]x,易得 [b/a],再由焦点为(4,0)可得双曲线中c=4,最后根据双曲线的性质c2=a2+b2列方程组,解得a2、b2即可.

    设双曲线方程为:9x2-16y2=λ,∵双曲线有一个焦点为(4,0),∴λ>0

    双曲线方程化为:

    x2

    λ

    9−

    y2

    λ

    16=1⇒

    λ

    9+

    λ

    16=16⇒λ=

    482

    25,

    ∴双曲线方程为:

    x2

    256

    25−

    y2

    144

    25=1

    ∴e=

    4

    16

    5=

    5

    4.

    点评:

    本题考点: 双曲线的标准方程.

    考点点评: 本题考查双曲线的标准方程,以及双曲线的简单性质的应用,确定c和a2的值,是解题的关键.