解题思路：（1）根据韦达定理可以知道
1
a]是方程f（x）=0的另外的一个根，然后利用反证法可以比较其大小；
（2）先用a、c表示b=-1-ac，再根据第（1）问ac的取值范围，从而确定b的范围即可；
（3）化简不等式，构造关于t的一元二次函数，根据单调性确定函数的最小值大于0，从而证明不等式成立．
（1）∵f（x）的图象与x轴有两个不同的交点
∴f（x）=0有两个不同的实数根x1，x2
∵f（c）=0∴c是方程f（x）=0的一个根，不妨设x1=c
∵x1x2＝
c
a]，∴x2＝
1
a∴[1/a≠c
假设
1
a＜c又
1
a＞0
由0＜x＜c时，f（x）＞0与f(
1
a)＝0矛盾
∴
1
a＞c
（2）∵f（c）=0∴ac+b+1=0∴b=-1-ac
由（1）0＜ac＜1，∴-2＜-1-ac＜-1
∴-2＜b＜-1
（3）原不等式化简为
(a+b+c)t2+(a+2b+3c)t+2c
t(t+1)(t+2) ＞0
∵t＞0
∴要证原不等式成立⇔即证g（t）=（a+b+c）t2+（a+2b+3c）t+2c＞0
∵c＞1＞0∴f（1）＞0即a+b+c＞0
又-2＜b＜-1
∴a+2b+3c=（a+b+c）+（b+2c）＞b+2c＞b+2＞0
∴二次函数g（t）的对称轴 t＝−
a+2b+3c
2(a+b+c)＜0
由此可见g（t）在[0，+∞）上是增函数
∴t＞0时，g（t）＞g（0）＞0
∴原不等式成立．
点评：
本题考点： 根的存在性及根的个数判断；一元二次方程的根的分布与系数的关系．
考点点评： 本题主要考查一元二次函数的根的分布与系数关系，及不等式的证明，有一定的难度，属于难题．
1年前
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