Question

将函数y=ln（1-x-2x2）展成x的幂级数，并指出其收敛区间．

Answer 1

解题思路：因为 y=ln（1-x-2x²）=ln（1+x）（1-2x）=ln（1+x）+ln（1-2x），故利用间接法求函数的幂级数展开式．

/>因为：

ln（1+x）=x-

x2

2+

x3

3-…+(-1)n+1

xn

n+…，收敛域为（-1，1]，

ln（1-2x）=（-2x）-

(-2x)2

2+

(-2x)3

3-…+(-1)n+1

(-2x)n

n+…，其收敛域为[-

1

2，

1

2)，

而：y=ln（1-x-2x²）=ln（1+x）（1-2x）=ln（1+x）+ln（1-2x），

所以：

y=ln（1-x-2x²）=

∞

n=1[(-1)n+1

xn

n+(-1)n+1

(-2x)n

n]=

∞

n=1

(-1)n+1-2n

nxn，

收敛域为：(-1，1]∩[-

1

2，

1

2)=[-

1

2，

1

2)，收敛区间为(-

1

2，

1

2)．

点评：

本题考点： 幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域；初等函数的幂级数展开式．

考点点评： 本题考查了利用间接法求函数的幂级数的方法，即：无需一一求出函数的各阶导数，而是直接利用已知函数的幂级数展开式写出所求函数的幂级数展开式．还要注意收敛区间与收敛域的区别．