m(-2,0)和N(2,0)是平面上的两点 动点P满足:|pm|+|pn|=6 求P的轨迹方程 若|PM|×|PN|=2

2个回答

  • 由椭圆的定义知,点P的轨迹为椭圆,其方程为:x^2/9+y^2/5=1.

    设点P(x0,y0),由余弦定理得:|PM|^2+|PN|^2-2|PM|*|PN|cos∠MPN=|MN|^2.

    即:(|PM|+|PN|)^2-2|PM|*|PN|(1+cos∠MPN)=|MN|^2.

    36-2|PM|*|PN|(1+cos∠MPN)=16,所以|PM|*|PN|=10/(1+cos∠MPN),

    又|PM|*|PN|=2/(1-cos∠MPN),所以10/(1+cos∠MPN)=2/(1-cos∠MPN),

    解得cos∠MPN=2/3;代入|PM|*|PN|=2/(1-cos∠MPN),得:|PM|*|PN|=6.

    又|PM|+|PN|=6,所以|PM|=3+√3,|PN|=3-√3.

    再由|PN|=a-ex0=3-2/3x0=3-√3.解得x0=3√3/2,代入椭圆方程得y0=√5/2.

    由对称性:P的坐标(3√3/2,√5/2)、(3√3/2,-√5/2)、(-3√3/2,√5/2)、(-3√3/2,-√5/2).