我个人的理解是：
首先可能楼主弄混了此句中did和took的词性.在这道题里,did的词性是助动词而非动词,took仍是作动词来用的.
语法上讲,Peter took是一个不完整的句子,因为took没有宾语.
问句的中心是主句中的who,答案对应Peter.如果答案中加一个took,那么问句中就要对应一个what.既然问句中没有问what而只有who,那么只需要加上一个助动词did就够了.
所以,Peter后加一个助动词did作为辅助,使答案有层次感.
另外,不用took的原因,是因为发问者已经知道umbrella承受了took这个动作,所以回答时不用再重复它是被took、break或者stole了.
刚学语法不久,可能是错误的说法,希望多交流.