（1） g(x)=
1
4 x 2 -x+ln(x+1) ， g′(x)=
1
2 x-1+
1
x+1 =
x(x-1)
2(x+1)
∴g（x）在[0，1]上单调减，在[1，2]上单调增
∵g（0）=0，g（1）= -
3
4 +ln2 ，g（2）=-1+ln3
∴g（x）在[0，2]上的最大值为-1+ln3，最小值为0
（2）证明：函数的定义域为（-1，+∞）
构造函数h（x）=f（x）-x，∴h′（x）=
1
x+1 -1=
-x
x+1
∴函数在（-1，0）上单调增，在（0，+∞）上单调减
∴在x=0处，函数取得极大值，也是最大值
∴h（x）≤h（0）=0
∴f（x）-x≤0
∵x＞0，∴ f(
1
x )＜
1
x
构造函数φ（x）=f（x）-
x
1+x ，∴φ′（x）=
x
(x+1) 2
∴函数在（-1，0）上单调减，在（0，+∞）上单调增
∴在x=0处，函数取得极小，也是最小值
∴φ（x）≥φ（0）=0
∴f（x）-
x
1+x ≥0
∵x＞0，∴
1
1+x ＜f(
1
x )
∴
1
1+x ＜f(
1
x )＜
1
x
（3）证明：∵f（x）=ln（x+1），∴f（n）-f（n-1）=f（
1
n ）
由（2）知：
1
1+n ＜f(
1
n )＜
1
n
∴
1
1+n ＜f(n)-f(n-1)＜
1
n
∴
1
1+1 ＜f(1)-f(0)＜1 ，
1
1+2 ＜f(2)-f(1)＜
1
2 ，
1
1+3 ＜f(3)-f(3-1)＜
1
3 ，…，
1
1+n ＜f(n)-f(n-1)＜
1
n
叠加可得：
1
2 +
1
3 +
1
4 +…+
1
n+1 ＜f(n)＜1+
1
2 +
1
3 +…+
1
n