解题思路：（Ⅰ）先求函数f（x）的导数，由函数在x=1处取得极值，知当x=1时导数等于0，又因为极值为2，所以当x=2时函数值等于2，这样就可求出a，b的值．
（Ⅱ）要使区间（m，2m+1）为函数f（x）的单调增区间，则区间（m，2m+1）为函数f（x）的增区间的子区间，先利用导数，求出函数f（x）的单调增区间，再比较（m，2m+1）区间端点与函数f（x）的单调增区间区间端点的大小即可．
（Ⅲ）因为曲线的切线的斜率就是函数在切点处的导数，所以要求切线斜率的范围，就是求曲线在切点处的导数的范围．求导，在借助二次函数求出范围即可．
（Ⅰ）已知函数f（x）=[ax
x2+b，∴f′(x)＝
a(x2+b)−ax(2x)
(x2+b)2．
又函数f（x）在x=1处取得极值2，∴
f′(1)＝0
f(1)＝2即
a(1+b)−2a＝0
a/1+b＝2]⇒
a＝4
b＝1.
当a=4，b=1，∴f′(x)＝
4(x2+1)−4x(2x)
(x2+1)2＝
4(1−x2)
(x2+1)2，
当-1＜x＜1时，f'（x）＞0，x＞1时，f'（x）＜0，∴f（x）在x=1处取得极值．∴
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
考点点评： 本题考查了导数应用求极值，单调区间，以及导数的几何意义的应用．