解题思路:(I)利用函数的当时与极值的关系即可得出;(II)利用f′(x)=0,列出表格即可得出单调区间.
(Ⅰ)已知函数f(x)=
ax
x2+b,
∴f′(x)=
a(x2+b)-ax(2x)
(x2+b)2=
-ax2+ab
(x2+b)2.
又函数f(x)在x=1处取得极值2,
∴
f′(1)=0
f(1)=2
即
a(1+b)-2a=0
a/1+b=2]⇒
a=4
b=1.,
∴f(x)=
4x
x2+1.
(Ⅱ)由f′(x)=
4(x2+1)-4x(2x)
(x2+1)2=
4(1-x2)
(x2+1)2=0⇒x=±1.
x(-∞,-1)-1(-1,1)1(1,+∞)
f′(x)-0+0-
f(x)单调递减极小值-2单调递增极大值2单调递减∴f(x)=
4x
x2+1的单调增区间为[-1,1].
若函数f(x)在区间(2k,4k+1)上单调递增,则有
2k≥-1
4k+1≤1
4k+1>2k,解得-
1
2<k≤0.
即k∈(-
1
2,0]时,函数f(x)在区间(2k,4k+1)上单调递增.
点评:
本题考点: 利用导数研究函数的极值;函数解析式的求解及常用方法;利用导数研究函数的单调性.
考点点评: 本题考查了利用导数以及函数的单调性极值与最值,考查了推理能力与计算能力,属于难题.