已知圆C以(3,-1)为圆心,5为半径,过点S(0,4)作直线l与圆C交于不同两点A,B.

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  • 解题思路:(Ⅰ)当斜率不存在时,x=0符合条件; 当斜率存在时,设出直线的方程,再由圆心距的平方与弦长一半的平方等于半径的平方求得圆心距,最后由点到直线的距离公式求得l的方程.

    (Ⅱ)当l斜率为-2时,直线l方程为y=-2x+4,有x2+(y-4)2=(x-3)2+(y+1)2-25,从而得到点P的坐标.

    (Ⅲ)由直角三角形斜边上的中线等于斜边一半可得.

    (Ⅰ)圆心C坐标(3,-1),半径r=5,

    由条件可知:圆心C到直线l的距离为3.(3分)

    当斜率不存在时,x=0符合条件; (4分)

    当直线l斜率存在时,设其为k,

    |3k+5|

    k2+1=3⇒k=−

    8

    15,

    则直线l的方程为8x+15y-60=0.

    综上,直线l方程是8x+15y-60=0或x=0;(6分)

    (Ⅱ)知直线l方程为y=-2x+4,设点P(a,4-2a),

    则由PC2-r2=PS2得:a2+4a2=(a-3)2+(5-2a)2-25,

    ⇒a=

    9

    26,

    所求点P为(

    9

    26,

    43

    13);(10分)

    (Ⅲ)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半有:

    定点M的坐标为 (

    3

    2,

    3

    2).(16分)

    点评:

    本题考点: 直线与圆的位置关系;点到直线的距离公式.

    考点点评: 本题主要考查直线与圆的方程的应用,主要涉及了垂径定理,切线的性质及直角三角形的性质.当直线与圆相交时,常常过圆心作弦的垂线,根据弦长的一半,圆的半径及弦心距构造直角三角形,利用勾股定理来解决问题.